von Maximilian Löber
- Mathe Leistungskurs - Facharbeit
- 12. Jahrgang
- 14 Punkte
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1 EINLEITENDES
1.1 ÜBERBLICK
1.2 HISTORISCHES
1.3 EINFÜHRUNG IN POLARKOORDINATEN
1.4 VERSCHIEDENE SPIRALTYPEN
2 DIE ARCHIMEDISCHE SPIRALE
2.1 DEFINITION
2.2 TANGENTENWINKEL
2.3 FLÄCHE
2.4 BOGENLÄNGE
2.5 WEITERE EIGENSCHAFTEn
3 DIE LOGARITHMISCHE SPIRALE
3.1 DEFINITION
3.2 KONSTANZ DES TANGENTENWINKELS
3.3 BOGENLÄNGE
3.4 FLÄCHE
4 VERGLEICH BEIDER SPIRALEN
5 NACHWORT
6 ANHANG
7 QUELLENNACHWEIS
7.1 LITERATURVERZEICHNIS
7.2 BILDNACHWEIS
Auszug:
1.1 Überblick
Das Phänomen der Spirale scheint in den Naturwissenschaften ein Schattendasein zu führen und wird bestenfalls im Praxisbezug untersucht. Tatsächlich jedoch finden sich Spiralen verschiedener Art in vielen Bereichen der Natur, in der Technik und in der Kunst. Beispiele sind
- auf biologischem Gebiet: Schneckenhäuser, die Anordnung von Pflanzenblättern oder auch nur der Wirbel im Haar des Menschen,
- in der Technik: Spiralfedern, die Datenspur einer CD oder so genannte Spiralturbinen,
- in der Kunst: die Spirale als Symbol von mystischer Dimension in nahezu allen Kulturen oder als beliebter Ausdruck von Verwirrung in Comics,
um nur einige zu nennen. Selbst in den Sprachgebrauch hat es der Begriff der Spirale geschafft: Wir sprechen von der Spirale der Gewalt, Wirtschaftstheoretiker benutzen den Ausdruck Lohn-Preisspirale.
Die mathematische Auseinandersetzung mit dem Phänomen ist also lohnenswert, um einerseits praktische Anwendungen bewältigen zu können, aber auch, weil es sich um ein recht unkonventionelles Thema der Mathematik handelt, das den ein oder anderen verblüffenden Zusammenhang offenbart. In der Tat lassen sich mit dem Wissen um die Eigenschaften verschiedener Spiralarten Probleme angehen, die auf den ersten Blick mit jenen überhaupt nichts zu tun haben.
Im Mittelpunkt dieser Arbeit stehen zwei besonders bedeutungsvolle Spiraltypen: die archimedische und die logarithmische Spirale, die nach eingehender Untersuchung miteinander verglichen werden. Vorerst werden jedoch der geschichtliche Hintergrund geklärt und die Voraussetzung für eine mathematische Diskussion von Spiralen geschaffen. Dabei liegt die Beschränkung auf grundlegenden Elementen des polaren Koordinatensystems. Die Erschließung der Eigenschaften beider Spiralarten soll weniger mit den bewiesenen Formeln aus der Analysis erfolgen, sondern eher auf elementarer Ebene mit allgemeineren Methoden ablaufen.